第三章第二節(jié) 桿件的基本變形與組合變形（三）

gaocen · 發(fā)表于 2013-1-25 15:21:04

本帖最后由 gaocen 于 2013-4-4 17:58 編輯

五、截面圖形的幾何性質(zhì)

在進(jìn)行桿件的彎曲正應(yīng)力、橫向剪應(yīng)力、扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力等計(jì)算中，要用到截面的慣性矩、極慣性矩、面積矩等物理量，這些量只與截面圖形的幾何形狀、尺寸有關(guān)，因此稱為截面圖形的幾何性質(zhì)。

1．面積矩

平面圖形對某一軸的面積矩 S ，等于此圖形中各微面積與其到該軸距離的乘積的代數(shù)和，也等于此圖形的面積與此圖形的形心到該軸距離的乘積。

平面圖形對于任一通過其形心的軸的面積矩為零。

設(shè)任意形狀截面圖形的面積為A(圖5—5—1)，則圖形

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對z、y軸的靜矩

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形心C的坐標(biāo)

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補(bǔ)充：

1．靜矩是對一定的軸而言的，同一圖形對不同坐標(biāo)軸的靜矩不同。靜矩可能為正、為負(fù)或?yàn)榱恪?/strong>

2．靜矩的量綱為[長度]3，單位為m3。

3．圖形對任一形心軸的靜矩為零；反之，若圖形對某一軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。

4．若截面圖形有對稱軸，則圖形對于對稱軸的靜矩必為零，圖形的形心一定在此對稱軸上。

5．組合圖形對某一軸的靜矩，等于各組分圖形對同一軸靜矩的代數(shù)和(圖5—5—2)，即

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2 ．慣性矩
平面圖形對某一軸的慣性矩 I ，等于此圖形中各微面積與其到該軸距離平方的乘積之和。

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      高度為 h ，寬度為 b 的矩形截面對其形心軸 z （即中性軸）的慣性矩為 Iz =bh3 / 12；直徑為 d 的圓形截面對其形心軸的慣性矩為 IZ=πd4 / 64 。對于矩形截面，因其慣性矩與截面高度的立方成正比，因此要提高矩形梁的抗彎剛度，應(yīng)盡可能增大梁的高度（在保證梁的側(cè)向穩(wěn)定性的前提下）。

      平面圖形對于非形心軸的慣性矩可以利用慣性矩的平移公式求得。平移公式表明：平面圖形對任一軸的慣性矩，等于平面圖形對與該軸平行的形心軸的慣性矩，加上平面圖形的面積與兩軸間距離平方的乘積。（平面圖形自己的慣性矩+ 自己的面積 X 兩軸間距離平方）

   由平移公式可知，在所有互相平行的軸中．，平面圖形對其形心軸的慣性矩最小。

補(bǔ)充：
   設(shè)任意形狀截面圖形的面積為A(圖5—5—4)，形心為c，圖形對形心軸yc、zc的軸慣性矩分別為

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,慣性積為

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，則圖形對平行于形心軸的坐標(biāo)軸y、z的慣性矩和慣性積分別為

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運(yùn)用上述公式時(shí)應(yīng)注意：
1．利用平行移軸公式計(jì)算必須從形心軸出發(fā)；a、b是形心C在新坐標(biāo)系y、z中的坐標(biāo)，所以是有正負(fù)的。
2．在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最��；但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小。

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